3.835 \(\int \frac{(c (d \sin (e+f x))^p)^n}{a+b \sin (e+f x)} \, dx\)

Optimal. Leaf size=204 \[ \frac{b \cos (e+f x) \sin ^2(e+f x)^{-\frac{n p}{2}} \left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n F_1\left (\frac{1}{2};-\frac{n p}{2},1;\frac{3}{2};\cos ^2(e+f x),-\frac{b^2 \cos ^2(e+f x)}{a^2-b^2}\right )}{f \left (a^2-b^2\right )}-\frac{a \cot (e+f x) \sin ^2(e+f x)^{\frac{1}{2} (1-n p)} \left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n F_1\left (\frac{1}{2};\frac{1}{2} (1-n p),1;\frac{3}{2};\cos ^2(e+f x),-\frac{b^2 \cos ^2(e+f x)}{a^2-b^2}\right )}{f \left (a^2-b^2\right )} \]

[Out]

(b*AppellF1[1/2, -(n*p)/2, 1, 3/2, Cos[e + f*x]^2, -((b^2*Cos[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[e + f*x]*(c*(d*Sin
[e + f*x])^p)^n)/((a^2 - b^2)*f*(Sin[e + f*x]^2)^((n*p)/2)) - (a*AppellF1[1/2, (1 - n*p)/2, 1, 3/2, Cos[e + f*
x]^2, -((b^2*Cos[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cot[e + f*x]*(Sin[e + f*x]^2)^((1 - n*p)/2)*(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^
n)/((a^2 - b^2)*f)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.338127, antiderivative size = 204, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 6, number of rules used = 4, integrand size = 27, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.148, Rules used = {2826, 2823, 3189, 429} \[ \frac{b \cos (e+f x) \sin ^2(e+f x)^{-\frac{n p}{2}} \left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n F_1\left (\frac{1}{2};-\frac{n p}{2},1;\frac{3}{2};\cos ^2(e+f x),-\frac{b^2 \cos ^2(e+f x)}{a^2-b^2}\right )}{f \left (a^2-b^2\right )}-\frac{a \cot (e+f x) \sin ^2(e+f x)^{\frac{1}{2} (1-n p)} \left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n F_1\left (\frac{1}{2};\frac{1}{2} (1-n p),1;\frac{3}{2};\cos ^2(e+f x),-\frac{b^2 \cos ^2(e+f x)}{a^2-b^2}\right )}{f \left (a^2-b^2\right )} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n/(a + b*Sin[e + f*x]),x]

[Out]

(b*AppellF1[1/2, -(n*p)/2, 1, 3/2, Cos[e + f*x]^2, -((b^2*Cos[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[e + f*x]*(c*(d*Sin
[e + f*x])^p)^n)/((a^2 - b^2)*f*(Sin[e + f*x]^2)^((n*p)/2)) - (a*AppellF1[1/2, (1 - n*p)/2, 1, 3/2, Cos[e + f*
x]^2, -((b^2*Cos[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cot[e + f*x]*(Sin[e + f*x]^2)^((1 - n*p)/2)*(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^
n)/((a^2 - b^2)*f)

Rule 2826

Int[((c_.)*((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(p_))^(n_)*((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.), x_Symbol]
:> Dist[(c^IntPart[n]*(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^FracPart[n])/(d*Sin[e + f*x])^(p*FracPart[n]), Int[(a + b*Sin[e
+ f*x])^m*(d*Sin[e + f*x])^(n*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] &&  !IntegerQ[n]

Rule 2823

Int[((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)/((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Dist[a, Int[(d*
Sin[e + f*x])^n/(a^2 - b^2*Sin[e + f*x]^2), x], x] - Dist[b/d, Int[(d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(a^2 - b^2*Sin[e +
f*x]^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, n}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

Rule 3189

Int[((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{ff
= FreeFactors[Cos[e + f*x], x]}, -Dist[(ff*d^(2*IntPart[(m - 1)/2] + 1)*(d*Sin[e + f*x])^(2*FracPart[(m - 1)/
2]))/(f*(Sin[e + f*x]^2)^FracPart[(m - 1)/2]), Subst[Int[(1 - ff^2*x^2)^((m - 1)/2)*(a + b - b*ff^2*x^2)^p, x]
, x, Cos[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, p}, x] &&  !IntegerQ[m]

Rule 429

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[a^p*c^q*x*AppellF1[1/n, -p,
-q, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a), -((d*x^n)/c)], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[n
, -1] && (IntegerQ[p] || GtQ[a, 0]) && (IntegerQ[q] || GtQ[c, 0])

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{\left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n}{a+b \sin (e+f x)} \, dx &=\left ((d \sin (e+f x))^{-n p} \left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n\right ) \int \frac{(d \sin (e+f x))^{n p}}{a+b \sin (e+f x)} \, dx\\ &=\left (a (d \sin (e+f x))^{-n p} \left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n\right ) \int \frac{(d \sin (e+f x))^{n p}}{a^2-b^2 \sin ^2(e+f x)} \, dx-\frac{\left (b (d \sin (e+f x))^{-n p} \left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n\right ) \int \frac{(d \sin (e+f x))^{1+n p}}{a^2-b^2 \sin ^2(e+f x)} \, dx}{d}\\ &=\frac{\left (b \sin ^2(e+f x)^{-\frac{n p}{2}} \left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\left (1-x^2\right )^{\frac{n p}{2}}}{a^2-b^2+b^2 x^2} \, dx,x,\cos (e+f x)\right )}{f}-\frac{\left (a d (d \sin (e+f x))^{-n p+2 \left (-\frac{1}{2}+\frac{n p}{2}\right )} \sin ^2(e+f x)^{\frac{1}{2}-\frac{n p}{2}} \left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\left (1-x^2\right )^{\frac{1}{2} (-1+n p)}}{a^2-b^2+b^2 x^2} \, dx,x,\cos (e+f x)\right )}{f}\\ &=\frac{b F_1\left (\frac{1}{2};-\frac{n p}{2},1;\frac{3}{2};\cos ^2(e+f x),-\frac{b^2 \cos ^2(e+f x)}{a^2-b^2}\right ) \cos (e+f x) \sin ^2(e+f x)^{-\frac{n p}{2}} \left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n}{\left (a^2-b^2\right ) f}-\frac{a F_1\left (\frac{1}{2};\frac{1}{2} (1-n p),1;\frac{3}{2};\cos ^2(e+f x),-\frac{b^2 \cos ^2(e+f x)}{a^2-b^2}\right ) \cot (e+f x) \sin ^2(e+f x)^{\frac{1}{2} (1-n p)} \left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n}{\left (a^2-b^2\right ) f}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 18.1763, size = 1811, normalized size = 8.88 \[ \text{result too large to display} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n/(a + b*Sin[e + f*x]),x]

[Out]

((Sec[e + f*x]^2)^((n*p)/2)*(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n*Tan[e + f*x]*(Tan[e + f*x]/Sqrt[Sec[e + f*x]^2])^(n*p)*((
a^2 - b^2)*(1 + n*p)*AppellF1[1 + (n*p)/2, (-1 + n*p)/2, 1, 2 + (n*p)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[e
+ f*x]^2)/a^2]*Tan[e + f*x] + a*(b*(2 + n*p)*AppellF1[(1 + n*p)/2, (n*p)/2, 1, (3 + n*p)/2, -Tan[e + f*x]^2, (
-1 + b^2/a^2)*Tan[e + f*x]^2] - a*(1 + n*p)*Hypergeometric2F1[1 + (n*p)/2, (1 + n*p)/2, 2 + (n*p)/2, -Tan[e +
f*x]^2]*Tan[e + f*x])))/(a^2*b*f*(1 + n*p)*(2 + n*p)*(a + b*Sin[e + f*x])*(((Sec[e + f*x]^2)^(1 + (n*p)/2)*(Ta
n[e + f*x]/Sqrt[Sec[e + f*x]^2])^(n*p)*((a^2 - b^2)*(1 + n*p)*AppellF1[1 + (n*p)/2, (-1 + n*p)/2, 1, 2 + (n*p)
/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/a^2]*Tan[e + f*x] + a*(b*(2 + n*p)*AppellF1[(1 + n*p)/2, (n
*p)/2, 1, (3 + n*p)/2, -Tan[e + f*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[e + f*x]^2] - a*(1 + n*p)*Hypergeometric2F1[1 + (n*
p)/2, (1 + n*p)/2, 2 + (n*p)/2, -Tan[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x])))/(a^2*b*(1 + n*p)*(2 + n*p)) + (n*p*(Sec[e + f
*x]^2)^((n*p)/2)*Tan[e + f*x]^2*(Tan[e + f*x]/Sqrt[Sec[e + f*x]^2])^(n*p)*((a^2 - b^2)*(1 + n*p)*AppellF1[1 +
(n*p)/2, (-1 + n*p)/2, 1, 2 + (n*p)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/a^2]*Tan[e + f*x] + a*(b
*(2 + n*p)*AppellF1[(1 + n*p)/2, (n*p)/2, 1, (3 + n*p)/2, -Tan[e + f*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[e + f*x]^2] - a*
(1 + n*p)*Hypergeometric2F1[1 + (n*p)/2, (1 + n*p)/2, 2 + (n*p)/2, -Tan[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x])))/(a^2*b*(1
+ n*p)*(2 + n*p)) + (n*p*(Sec[e + f*x]^2)^((n*p)/2)*Tan[e + f*x]*(Tan[e + f*x]/Sqrt[Sec[e + f*x]^2])^(-1 + n*p
)*(Sqrt[Sec[e + f*x]^2] - Tan[e + f*x]^2/Sqrt[Sec[e + f*x]^2])*((a^2 - b^2)*(1 + n*p)*AppellF1[1 + (n*p)/2, (-
1 + n*p)/2, 1, 2 + (n*p)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/a^2]*Tan[e + f*x] + a*(b*(2 + n*p)*
AppellF1[(1 + n*p)/2, (n*p)/2, 1, (3 + n*p)/2, -Tan[e + f*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[e + f*x]^2] - a*(1 + n*p)*H
ypergeometric2F1[1 + (n*p)/2, (1 + n*p)/2, 2 + (n*p)/2, -Tan[e + f*x]^2]*Tan[e + f*x])))/(a^2*b*(1 + n*p)*(2 +
n*p)) + ((Sec[e + f*x]^2)^((n*p)/2)*Tan[e + f*x]*(Tan[e + f*x]/Sqrt[Sec[e + f*x]^2])^(n*p)*((a^2 - b^2)*(1 +
n*p)*AppellF1[1 + (n*p)/2, (-1 + n*p)/2, 1, 2 + (n*p)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/a^2]*S
ec[e + f*x]^2 + (a^2 - b^2)*(1 + n*p)*Tan[e + f*x]*((2*(-a^2 + b^2)*(1 + (n*p)/2)*AppellF1[2 + (n*p)/2, (-1 +
n*p)/2, 2, 3 + (n*p)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/a^2]*Sec[e + f*x]^2*Tan[e + f*x])/(a^2*
(2 + (n*p)/2)) - ((1 + (n*p)/2)*(-1 + n*p)*AppellF1[2 + (n*p)/2, 1 + (-1 + n*p)/2, 1, 3 + (n*p)/2, -Tan[e + f*
x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/a^2]*Sec[e + f*x]^2*Tan[e + f*x])/(2 + (n*p)/2)) + a*(-(a*(1 + n*p)*Hyperg
eometric2F1[1 + (n*p)/2, (1 + n*p)/2, 2 + (n*p)/2, -Tan[e + f*x]^2]*Sec[e + f*x]^2) + b*(2 + n*p)*((2*(-1 + b^
2/a^2)*(1 + n*p)*AppellF1[1 + (1 + n*p)/2, (n*p)/2, 2, 1 + (3 + n*p)/2, -Tan[e + f*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[e
+ f*x]^2]*Sec[e + f*x]^2*Tan[e + f*x])/(3 + n*p) - (n*p*(1 + n*p)*AppellF1[1 + (1 + n*p)/2, 1 + (n*p)/2, 1, 1
+ (3 + n*p)/2, -Tan[e + f*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[e + f*x]^2]*Sec[e + f*x]^2*Tan[e + f*x])/(3 + n*p)) - 2*a*(
1 + (n*p)/2)*(1 + n*p)*Sec[e + f*x]^2*(-Hypergeometric2F1[1 + (n*p)/2, (1 + n*p)/2, 2 + (n*p)/2, -Tan[e + f*x]
^2] + (1 + Tan[e + f*x]^2)^((-1 - n*p)/2)))))/(a^2*b*(1 + n*p)*(2 + n*p))))

________________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.144, size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\frac{ \left ( c \left ( d\sin \left ( fx+e \right ) \right ) ^{p} \right ) ^{n}}{a+b\sin \left ( fx+e \right ) }}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((c*(d*sin(f*x+e))^p)^n/(a+b*sin(f*x+e)),x)

[Out]

int((c*(d*sin(f*x+e))^p)^n/(a+b*sin(f*x+e)),x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\left (\left (d \sin \left (f x + e\right )\right )^{p} c\right )^{n}}{b \sin \left (f x + e\right ) + a}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((c*(d*sin(f*x+e))^p)^n/(a+b*sin(f*x+e)),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(((d*sin(f*x + e))^p*c)^n/(b*sin(f*x + e) + a), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*}{\rm integral}\left (\frac{\left (\left (d \sin \left (f x + e\right )\right )^{p} c\right )^{n}}{b \sin \left (f x + e\right ) + a}, x\right ) \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((c*(d*sin(f*x+e))^p)^n/(a+b*sin(f*x+e)),x, algorithm="fricas")

[Out]

integral(((d*sin(f*x + e))^p*c)^n/(b*sin(f*x + e) + a), x)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\left (c \left (d \sin{\left (e + f x \right )}\right )^{p}\right )^{n}}{a + b \sin{\left (e + f x \right )}}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((c*(d*sin(f*x+e))**p)**n/(a+b*sin(f*x+e)),x)

[Out]

Integral((c*(d*sin(e + f*x))**p)**n/(a + b*sin(e + f*x)), x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\left (\left (d \sin \left (f x + e\right )\right )^{p} c\right )^{n}}{b \sin \left (f x + e\right ) + a}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((c*(d*sin(f*x+e))^p)^n/(a+b*sin(f*x+e)),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(((d*sin(f*x + e))^p*c)^n/(b*sin(f*x + e) + a), x)